Линейная механика упругого разрушения

Основы механики разрушения были заложены Гриффитом, который пришел к выводу, что прочность кристаллических и стеклообразных твердых тел значительно ниже, чем теоретические значения, вследствие наличия в этих материалах небольших дефектов. Теоретические пределы прочности могут быть вычислены при использовании зависимости усилие — смещение для межатомных связей, так как в конечном счете прочность твердого вещества ограничивается прочностью его связей. Типичные значения прочности равны Е/10, где E — модуль Юнга. Такой прочности можно достигнуть, только если все связи нагружены равномерно, к чему уже приближаются в развивающейся технологии высокопрочных волокон за счет ликвидации дефектов в кристаллических материалах. В общем, однако, материалы обладают прочностью на 2—3 порядка ниже, чем теоретическая, что ясно указывает на то, что распределение напряжений по отдельным связям очень неравномерно даже в явно гомогенных материалах при равномерном нагружении. Данные Журкова по ИК-спектроскопии экспериментально подтверждают распределение напряжений по связям в полимере и показывают, что небольшая доля сильнонапряженных связей разрушается при нагружении. Образующиеся при этом дефекты в материале служат очагами зарождений трещин. Почти все образцы, будь то полимеры, металлы, керамика или другие материалы, содержат некоторые дефекты, которые могут действовать как концентраторы напряжений и инициировать образование трещин.

Подход, предложенный Гриффитом, основан на термодинамическом принципе: трещина будет распространяться только в том случае, если имеющаяся энергия достаточна для поддержания ее роста. Энергия освобождается за счет потенциальной энергии деформированного материала в окрестности трещины и поглощается при образовании свежих поверхностей в результате формирования трещин. Первая проблема заключается таким образом в вычислении энергии деформации U, накопленной в теле, как функции длины трещины.
Гриффит рассматривал случай, проиллюстрированный на рис. 9.1, где показана бесконечная пластинка единичной толщины, содержащая острую планарную трещину длиной 2а и подвергающаяся действию растягивающего напряжения σ. Распределение напряжений в этом случае было вычислено Инглисом. Путем интегрирования произведения напряжения на деформацию в каждом элементе пластинки Гриффит получил следующее выражение для скорости освобождения энергии деформации — ∂U/∂a при плосконапряженном состоянии:

При расчетах предполагается, что материал линейно упругий (т. е. напряжение везде пропорционально деформации) и что пластинка тонкая, следовательно, материал находится в плоскоиапряженном состоянии, т. е. нет компоненты напряжения, направленной по толщине. Для толстой пластинки, которая находится в состоянии плоской деформации, скорость освобождения энергии деформации выражается немного иначе:

Так как коэффициент Пуассона v для стеклообразных полимеров примерно равен 0,4, то различие в ∂U/∂a по этим двум выражениям составляет лишь 16 %.

В идеально хрупком материале энергия, поглощаемая при распространении трещины, равна работе, затрачиваемой на преодоление сил межмолекулярного притяжения при формировании поверхности разрыва. Так как есть две поверхности, то скорость поглощения энергии ∂U'/∂a будет:

Условие распространения трещин можно выразить как -∂U/∂a>∂U'∂a. Таким образом, разрушение пластинки при плоской деформации происходит, когда

Этот критерий энергетического баланса, основанный на первом законе термодинамики, исключает проблему расчета напряжений в вершине трещины, которые сильно зависят от радиуса вершины. Требуется лишь, чтобы трещина была достаточно острой и чтобы в области ее вершины возникали напряжения, большие, чем межатомные и межмолекулярные силы; при этом не нужно учитывать радиус вершины трещины.
Эксперименты с пластинками, содержащими введенные трещины, показывают, что для большого числа металлов и пластмасс критическое напряжение σкр в точке возникновения трещины пропорционально σ-1-2, что и следует из уравнения (9.4). Однако измеренные значения энергии образования поверхности разрушения оказываются на несколько порядков выше, чем вычисленные по энергиям межатомных связей. Это несоответствие заставило Орована и Ирвина предположить, что энергия распространения трещин состоит главным образом из энергии, рассеиваемой при работе пластичности (неупругой работе) в вершине трещины. При условии, что длина трещины и ширина пластинки W гораздо больше зоны пластичности, ограниченная текучесть незначительно влияет на распределение упругих напряжений в пластинке, и, следовательно, выполняются уравнения (9.1) и (9.2). Поэтому для хрупкого разрушения металлов и пластмасс уравнение (9.4) можно преобразовать путем замены γ на γn — пластическую работу образования единицы поверхности разрушения. Ирвин и другие авторы предпочитают выражать пластическую работу образования трещин через критическую скорость освобождения энергии деформации σкр, которая равна 2γп. Уравнение Гриффита приобретает вид (при плоской деформации):

Это уравнение справедливо, когда пластическая зона мала и σкр постоянна, что должно экспериментально проверяться для каждого материала. Основной принцип механики упругого линейного разрушения состоит в том, что характер разрушения хрупкого материала можно определять через свойства материала, такие, как γп и σкр, которые не зависят от геометрии образца.

Существует второй альтернативный критерий для хрупкого разрушения: трещина будет распространяться, когда распределение напряжений вокруг ее вершины достигнет критического состояния. Так же как и у Гриффита, напряжения, очень близкие к вершине трещины, не рассматриваются, но радиус вершины трещины мал по сравнению с ее длиной и поэтому не оказывает влияния на общее распределение напряжений вокруг трещины. Анализ напряжений по Вестергаарду показывает, что для центральной трещины в большой пластинке, нагруженной перпендикулярно плоскости трещины, как показано на рис. 9.1 и 9.2, напряжения будут иметь вид:

При соответствующем выборе фактора интенсивности напряжений К те же уравнения могут описывать напряжения около вершины трещины при всех конфигурациях нагружения. Преимущество фактора интенсивности напряжения заключается в том, что в одном параметре объединяются три переменные величины: приложенное напряжение, длина трещины и геометрия образца. В общем случае:

Выражения для факторов интенсивности напряжений для других конфигураций нагружения можно найти в распространенных учебниках. Например, в случае пластинки шириной W, имеющей центральную трещину длиной 2а, при растягивающем напряжении σ

Символ Ki используется, чтобы обозначить разрушение путем раскрытия (мода I при разрушении), означающее, что трещина открывается нормально к растягивающему напряжению, как было указано выше. Мода II относится к напряжениям сдвига, действующим параллельно направлению распространения трещины; мода III — к напряжениям сдвига, действующим параллельно вершине трещины. Так как параметрам KII и KIII не уделялось серьезного внимания в литературе по полимерам, то далее эти моды рассматриваться не будут.

При обсуждении условий, создающихся в вершине трещины, удобно обратить внимание на плоскость трещины, где 0 = 0 и поэтому напряжения максимальны и равны

Из уравнений (9.6) и (9.9) видно, что напряжения σ11 и σ22 стремятся к бесконечности, когда расстояние до вершины трещины r стремится к 0. Полный анализ напряжений, конечно, не имеет смысла, если рассматриваются расстояния порядка атомных величин, но даже при довольно больших значениях r по этим уравнениям получаются чрезвычайно высокие напряжения. Достоинство анализа Вестергаарда заключается в том, что притупление вершины трещины и последующее уменьшение напряжений в непосредственной близости от вершины не оказывают существенного влияния на общую форму показанном на рис. 9.3, б, σ11 является конечной величиной в вершине тупого надреза и равно 20,58σ, где σ — приложенное растягивающее напряжение. Напряжение σ22, действующее параллельно направлению распространения трещины, равно 0 в вершине надреза, так как свободная поверхность не может выдерживать нормальное напряжение; σ22 возрастает до максимального значения на некотором расстоянии от вершины. Следовательно, характер распределения напряжения становится более объемным (триаксиальным). Несмотря на сравнительно большой радиус вершины надреза, распределения напряжений. На рис. 9.3 приведены значения напряжений, вычисленные по уравнению (9.9). В случае, распределение напряжений, представленное на рис. 9.3, б, абсолютно тождественно распределению в случае идеально острой трещины. По мере уменьшения радиуса вершины решение для тупого надреза становится по существу идентичным решению для острой трещины, исключая лишь малую область, очень близкую к вершине трещины.
Критерий интенсивности напряжений просто устанавливает, что трещина будет распространяться, когда фактор интенсивности напряжений К достигнет критического значения. Для открытой формы разрушения это условие можно выразить следующим образом:

Величина KIkp известна под названием прочности при плоской деформации для разрушения путем раскрытия или просто вязкости при разрушении. Как и σкр, KIкр является свойством материала, поэтому КIкр нельзя путать с величиной KI, которая является переменной испытания и зависит от условий проведения опыта; KI и КIкр измеряются в MH/м3/2.

Хотя критерий интенсивности напряжений не имеет физического смысла в отличие от анализа, основанного на рассмотрении энергетического баланса, оба типа обработки эквивалентны и дают одни и те же результаты. Для большой пластины с центральной трещиной


Допущение, что напряжение и деформация линейно взаимосвязаны, необязательно для механики разрушения. Критерий энергетического, баланса подходит и для нелинейных упругих материалов. Фактически в области исследования полимеров работа Ривлина и Томаса по разрыву каучуков, которые являются нелинейными материалами, предшествует работам по изучению механики разрушения приближенно линейных материалов, таких, как ПММА. Эксперименты достаточно сложны, поскольку приходится определять скорости освобождения энергии деформации, но основной подход, изложенный выше, не изменяется.