Результаты теории моментов Ван-Флека

При учете диполь-дипольного взаимодействия в группе из большого числа ядер вычисление спектра ЯМР оказывается практически невозможным. Тем не менее некоторые параметры линии ЯМР, а именно моменты линии поглощения, сосчитать можно. Полученные Ван-Флеком в 1948 г. формулы достаточно просты и удобны для практического использования, но вывод их представляет сложную квантовомеханическую задачу, которая будет разобрана далее. Поэтому здесь мы приведем только формулы для второго момента, представляющего собой среднеквадратичную ширину линии. Если образец содержит один сорт ядер с магнитными моментами, отличными от нуля, то

Величины I, μ, rjk, θjk уже введены; N -число неэквивалентных ядер (эквивалентными считаются ядра одного сорта, у которых все rjk и θjk одинаковы). Значком у пронумерованы неэквивалентные ядра; количество неэквивалентных ядер меньше или равно числу ядер в элементарной ячейке кристалла. Суммирование по j представляет собой по существу усреднение по неэквивалентным ядрам. Значком k пронумерованы все ядра кристалла, за исключением одного, обозначенного значком у.
Таким образом, чтобы вычислить второй момент, надо взять какое-то ядро, определить расстояния rjk и углы θjk для всех остальных ядер кристалла, вычислить величину (3 cos2 θjk - 1)2 rjk-6 и просуммировать. Ясно, что практически такое суммирование невозможно. Однако благодаря тому, что под знак суммы входит rjk-6, можно ограничиться точным суммированием в некоторой сравнительно небольшой окрестности ядра у. Влияние удаленных ядер можно учесть приближенно, заменив суммирование интегрированием, предполагая, что на больших расстояниях реальный кристалл можно заменить некоторой гипотетической сплошной средой, обладающей магнитным моментом. Таким образом,

где n — число ядер k в сфере радиусом r0, а р — число ядер на единицу объема. Интегрирование ведется по всему объему вне выбранной сферы. Вычисляя интеграл, получаем

Для поликристалла усреднение по углу θjk можно провести заранее в общем виде

и для вычисления второго момента следует пользоваться такой формулой

где a имеет разные значения для разных ядер. В частности для протонов а = 358, a для ядер фтора а = 317.
Если кристалл содержит несколько сортов ядер, имеющих магнитные моменты, то в приведенных выше формулах появляются добавочные члены. Формула (3.12) записывается так:

Здесь значок F нумерует сорта ядер, a lF нумерует ядра внутри каждого данного сорта.