Связь между мнимой частью динамической восприимчивости и корреляционной функцией поперечной намагниченности

Пусть система N взаимодействующих спинов находится в постоянном магнитном поле H0 = Н0еz, направленном вдоль оси z лабораторной системы координат, и переменном магнитном поле, направленном вдоль оси х: H = H1cosωtex. Удобно рассматривать величину напряженности осциллирующего магнитного поля H как действительную часть комплексной напряженности H

Допустим, что поле H1 является достаточно слабым, так что индуцируемая им намагниченность M пропорциональна напряженности поля

где χ — тензор магнитной восприимчивости. Поскольку H — комплексное поле, то компоненты тензора χ могут быть комплексными величинами

Физически наблюдаемые эффекты взаимодействия между радиочастотным полем и ядерной восприимчивостью следует сопоставить с действительной частью намагниченности, которую определим из следующего равенства:

В равенство (7.31) входит только компонента тензора магнитной восприимчивости χ, индекс при которой мы опустили. В рассматриваемом нами случае остальные компоненты тензора χ можно выразить через величины χxx' и χxx''. Однако встречаются физические ситуации (например, ферромагнитный резонанс), когда необходимо знать и другие компоненты этого тензора.
Условие линейности или отсутствие насыщения предполагает, что χ' и χ'' не зависят от H1. В линейной теории резонанса между χ' и χ'' существуют независимо от природы рассматриваемой системы общие соотношения Крамерса — Кронига, которые позволяют вычислить одну из этих величин, если для всех значений частоты известна другая

Компонента намагниченности, параллельная оси х, может быть вычислена с помощью матрицы плотности р системы N спинов

где через Mх обозначен оператор х-компоненты магнитного момента системы, а [Мх] — его среднее значение. Из-за наличия взаимодействия между спинами весь образец из N спинов приходится рассматривать как единую большую систему, а переходы, вызванные радиочастотным полем, — как переходы между различными энергетическими уровнями этой системы. Весь образец, содержащий N спинов, теперь становится одним элементом статистического ансамбля и описывается матрицей плотности р, имеющей размерность (2I+1)N*(2/+1)N.
Матрица плотности удовлетворяет кинетическому уравнению

где Hn — полный гамильтониан системы. Он может быть представлен в виде суммы трех членов

описывает зеемановское взаимодействие магнитных моментов ядер с постоянным внешним магнитным полем;

учитывает вазимодействие между спинами, а

описывает взаимодействие спинов с переменным магнитным полем. Величины Аαβij образуют тензор взаимодействия, природу которого мы пока не конкретизируем (наиболее часто — это тензор диполь-дипольного взаимодействия). Будем лишь предполагать, что взаимодействие, описываемое оператором H1, является гораздо более слабым, чем H0. Вследствие малой величины амплитуды переменного магнитного поля будем также считать, что //H2//≤//H0//.
С учетом (7.33) уравнение для матрицы плотности может быть записано в виде

Введем обозначение H=H0+H1 и перейдем в (7.34) к представлению взаимодействия, полагая.

Тогда получим уравнение движения в виде

Поскольку HD2 мало, то уравнение (7.35) можно решить методом последовательных приближений и ограничиться при этом только первым приближением. В первом порядке по взаимодействию получим

где р0D = рD/t=-∞ — значение рD в начальный момент времени до включения взаимодействия. Будем считать, что до включения переменного магнитного поля система находится в состоянии термодинамического равновесия, т. е.

Вернемся в выражении (7.36) от рD к р. Для этого умножим (7.36) слева на ехр (-IHt/h) и справа на ехр (iHt/h).
Тогда получим

Преобразуем (7.37), вводя новую переменную интегрирования t—t' = u

Положим в (7.38) u = t'. Подставляя (7.38) в (7.32), получим среднее значение намагниченности вдоль оси х

Предположим, что до включения радиочастотного поля намагниченность вдоль оси х была равна нулю, т. е.

и используя определение (7.31), получим из (7.39) выражение для мнимой части магнитной восприимчивости

Будем далее использовать высокотемпературное приближение, т. е. будем считать температуру достаточно высокой для того, чтобы можно было использовать линейное разложение для матрицы плотности в равновесном состоянии

Здесь E — единичная матрица размерности (2I+1)N*(2I+1)N. Следовательно,

Подставляя (7.41) и (7.42) в (7.40) и учитывая, что единичный оператор коммутирует с любым оператором, т. е. [Е, .Mx(t')] = 0, получим

Выберем в качестве базиса полную систему собственных функций оператора H

Интеграл в формуле (7.44) вычислим по частям. Принимая во внимание, что внеинтегральный член обращается в нуль, получим для x'' следующее выражение:

Преобразуем подынтегральное выражение в (7.45), вводя оператор в представлении Гейзенберга


Обозначим через G(е) = Sp{Mx(t)Mx} функцию корреляции поперечной намагниченности системы. Из (7.45) получим

т. е. мнимая часть магнитной восприимчивости системы есть Фурье-образ корреляционной функции поперечной намагниченности. Выражение подобного вида для х" можно получить, не предполагая, что ω0≪kT. В этом случае

Так как оператор Mx имеет отличные от нуля матричные элементы только для переходов с переворотом одного из спинов, то En-Em-tω, и в случае слабого взаимодействия H1 получим

В высокотемпературном приближении можно получить другое выражение для x''. Учитывая, что cosωt = (ехр(iωt) + ехр(-iωt))/2, преобразуем интеграл формулы (7.45) к виду


В этой формуле x'' выступает как вероятность перехода в системе, находящейся под действием периодического возмущения с частотой ω. Это и не удивительно, так как величина x" пропорциональна энергии радиочастотного поля, поглощаемой в единице объема образца в единицу времени

С другой стороны, энергия, поглощаемая системой, пропорциональна кванту энергии и вероятности перехода между состояниями. Предположим, что взаимодействие отсутствует. В этом случае матричный элемент [m/Mx/n] = yh[m/Ix/n] отличен от нуля только для переходов между двумя состояниями, отличающимися направлением одного спина. При этом величина х" пропорциональна δ(ω-ω0), и линия бесконечно узкая. Функция корреляции пропорциональна фурье-преобразованию функции х"

Учет члена H1 в гамильтониане приводит к появлению у линии конечной ширины или к затуханию функции G(t).