Обзор основных методов моделирования случайных структур

Одной из ключевых проблем разработки и исследования композиционных материалов с сильной механической неоднородностью компонентов является получение достоверной информации об их внутренней структуре, особенно для композиций, в которых концентрация дисперсной фазы составляет примерно 50% и выше от максимально возможной для данного состава. При таких наполнениях частицы расположены столь близко друг от друга, что взаимное влияние создаваемых ими полей микровозмущений начинает существенно сказываться на эффективном поведении композиционного материала (т.е. на макроуровне). Учитывая сильную нелинейность зависимости "силы взаимодействия" между включениями от расстояния между ними, можно утверждать, что именно структура, топология заполнения макрообъема дисперсными микрочастицами является одним из основных факторов в формировании механических и прочностных свойств высоконаполненного композита.
Существуют два основных подхода для получения конкретной информации о морфологии микроструктуры композитных систем со случайным наполнением: экспериментальный и компьютерное моделирование.
В литературе также известны попытки описания подобных материалов аналитическими методами, однако они не получили широкого развития из-за серьезных вычислительных затруднений, связанных с такими особенностями образования плотных стохастических структур, как возникновение в них элементов ближнего порядка (что является следствием невозможности взаимного проникновения включений при контактах) наряду с сохранением высокой общей разупорядоченности системы. В работах, развивающих данное направление, чаще всего рассматриваются регулярные или квазирегулярные системы, когда частицы могут колебаться в определенных пределах вблизи узлов решетки периодичности, не нарушая дальнего порядка структуры. Стохастичность в таких моделях выражена слабо, и ее учет производится на основании каких-либо умозрительных гипотез, требующих проверки и доказательства на практике. Приемлемые для малых и средних наполнений, они все же не могут быть положены в основу исследования структур с концентрациями частиц, близкими к предельным.
Экспериментальные исследования плотных случайных упаковок (когда каждое включение имеет как минимум три контакта с соседями) и близких к ним по концентрации структур проводятся, как правило, на модельных системах из жестких частиц с заданными размерами и формой. Это делается для того, чтобы по возможности облегчить последующую обработку опытных данных и снизить до минимума многочисленные побочные эффекты, искажающие и скрадывающие главные, наиболее общие, принципы формирования структуры. Модельную случайную плотную упаковку обычно получают, помещая представительное число частиц в некоторую ограниченную емкость, а затем с помощью вибрации и перемешивания доводят систему до равновесного случайного состояния. Туда же для фиксации заливается какое-нибудь легко удаляемое связующее типа парафина. Более разреженные структуры (в которых частицы не обязательно должны касаться друг друга) можно получить в результате отверждения вязких суспензий с заданной концентрацией частиц. Изготовленные таким способом модельные образцы подвергаются детальному изучению на шлифах или какими-то другими методами исследования на предмет построения общей картины взаимного расположения частиц и вычисления обобщенных структурных характеристик.
Оригинальная методика синтеза и исследования случайных систем была предложена Морелем и Хильдебрандом. Шарики одинаковых размеров (из затвердевшей желатины) в большом количестве вводились в желатиновый раствор той же удельной плотности. При этом некоторые из них были покрашены в черный цвет, что хорошо выделяло их на однородном фоне, так как из-за одинакового показателя преломления частиц и раствора остальные шары становились невидимыми. Взаимное расположение выделенных краской частиц фотографировалось на пленку через прозрачные плоские стенки сосуда в двух перпендикулярных направлениях. Учитывая, что все шары были "невесомыми", авторы получали системы с наполнениями от 26 до 51%. Они же изучали распределение меченых частиц в плотной упаковке, для чего стеклянные сферы одинакового размера помещали в раствор бромоформа и четыреххлористого углерода так, что благодаря одинаковому показателю преломления все они становились невидимыми, за исключением заранее покрашенных.
Исследования в данном направлении особенно активно велись в 60-70гг., когда был получен ряд фундаментальных результатов, на базе которых и появилась возможность развивать компьютерное моделирование высоконаполненных случайных систем. Однако широкое применение экспериментальных методов, несмотря на всю важность этого направления, сдерживается очень большой трудоемкостью и наличием различных систематических погрешностей, связанных с особенностями постановки эксперимента.
Методы математического моделирования случайных структур с помощью ЭВМ в значительной мере лишены недостатков, присущих описанному выше подходу, но для их успешного применения требуются надежные и эффективные алгоритмы, позволяющие численно синтезировать геометрические случайные структуры, с достаточной точностью отображающие реальную морфологию композита и не противоречащие опытным данным, полученным па модельных экспериментах.
Наиболее примитивным и распространенным является алгоритм, известный в литературе как метод Монте-Карло. Суть его состоит в следующем.
В некоторую ограниченную область n-мерного пространства (n = 1,2,3) поочередно "вбрасываются" по n координат центров пакуемых частиц, для чего используется датчик псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения генерируемой случайной величины. При этом, если вновь инициируемая частица пересекается хотя бы с одной из уже имеющихся в структуре (или с границей области), то она "уничтожается" и "вбрасывание" повторяется. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень наполнения или число неудачных попыток, затраченных на размещение очередного включения, не превысит некоторого предельного значения.
Основное и принципиальное ограничение данного алгоритма — невозможность получения структур с высокими степенями наполнения. Проведенные нами расчеты показали, что для трехмерных неупорядоченных систем из одинаковых жестких сфер не удается достигнуть наполнения выше 30%, а в двухмерном случае (структура из одинаковых плоских дисков) — 40-42%. Отсюда можно сделать вывод, что в неупорядоченных системах элементы ближнего порядка начинают появляться при концентрациях, превышающих половину от предельных для данного состава.
Переход к более плотным случайным системам требует применения и более сложных алгоритмов с использованием тех или иных итерационных процедур, связанных с необходимостью упорядочения расположения частиц в процессе их укладки. Разные авторы подходят к этой проблеме по-разному.
Известны работы, в которых сделаны попытки решить задачу в "лоб", т. е. смоделировать непосредственно на компьютере реальный процесс заполнения контейнера падающими сверху сферическими частицами. При этом каждый новый шар должен укладываться в углубления между уже упакованными частицами в соответствии с той или иной выбранной схемой.
В первом случае вблизи двух случайно разыгранных горизонтальных координат центра очередной пакуемой сферы с помощью пробных случайных шагов отыскивалось минимально возможное значение ее вертикальной координаты, при котором не происходило бы пересечения с ранее уложенными частицами. Максимальная плотность заполнения такой упаковки из одинаковых сфер составила всего 45%.
Если же пробные шаги производились не случайным образом, а в сторону наискорейшего спуска (второй вариант синтеза), то предельная концентрация частиц повышалась до 55%.
По третьему алгоритму осуществлялся точный расчет координат пакуемой сферы при ее размещении в случайно выбранное углубление между тремя уже уложенными частицами. Данный способ позволил синтезировать структуры с наполнением до 60%, что уже довольно близко к плотности реальных структур, хотя и немного ниже, чем требуется.
К основным недостаткам прямого моделирования процесса насыпания в контейнер дисперсных частиц следует отнести чрезмерную сложность алгоритма и наличие регуляризирующих граничных эффектов от гладких стенок "контейнера". Известно, что толщина пристеночного слоя, в котором могут проявиться эти явления, достигает значений примерно в 3-4 характерных размера частицы. Для получения истинных структурных характеристик стохастической системы необходимо увеличивать число элементов в рассматриваемом ансамбле, а это лишние затраты компьютерных ресурсов. Кроме того, случайные упаковки, полученные с помощью этих алгоритмов, не являются полностью макроизотропными, как это имеет место в реальности. Структурные характеристики, определенные в направлении вертикальной оси координат, в известной мере отличаются от значений, вычисленных по осям, лежащим в горизонтальной плоскости.
Предлагается строить плотную случайную структуру, последовательно добавляя извне очередную синтезируемую частицу к группе ранее созданных сфер, расположенных вокруг центрального сердечника из нескольких плотноупакованных частиц с заданными координатами — "зародыша" системы. Каждая новая сфера случайным образом вбрасывается поблизости от уже существующего кластера, а затем перемещается в его сторону до тех пор, пока не происходит контакт с уже упакованными частицами.
Были рассмотрены три различные схемы. Первая требовала, чтобы положение каждой новой частицы фиксировалось в момент, когда она оказывалась на минимальном отдалении по крайней мере от одной внешней сферы. По второй схеме частица должна была касаться уже хотя бы двух других, а по третьей каждое новое включение размещалось таким образом, чтобы оказаться в вершине ближайшего неправильного тетраэдра с основанием из трех ранее упакованных частиц. Ни один из этих алгоритмов не позволил получить удовлетворительный результат. Структуры очень быстро разрыхлялись по мере удаления от центра, и па расстоянии порядка 3-4 диаметра частиц плотность наполнения составляла всего около 25, 30 и 35% для первого второго и третьего случаев соответственно.
В окончательном варианте, па котором остановились авторы, тетраэдр для размещения новой частицы выбирался уже не случайно, а из условия обеспечения минимума расстояния от укладываемой сферы до центра области. Хотя это и позволило улучшить ситуацию, однако полностью избавиться от падения плотности упаковки при удалении от центра не удалось. По-видимому, дело в уменьшении кривизны внешней поверхности структуры, на которую можно добавлять новые частицы.
Существуют и другие способы численной генерации таких структур, по мы не будем на них останавливаться.