Координационные числа

Понятие концентрации может служить только в качестве весьма общей макрохарактеристики структуры, ибо по ней можно лишь весьма приблизительно судить о взаимном расположении частиц. Очевидно, что данной известной конфигурации отвечает вполне определенная степень наполнения, но обратное утверждение в общем случае не верно, так как одна и та же концентрация может соответствовать множеству самых разных укладок даже для элементов одной формы и размера. Более информативна с этой точки зрения такая структурная характеристика, как координационное число частицы N, которое определяет количество окружающих ее ближайших соседей. В случайных структурах этот параметр имеет стохастический характер и представляется в виде соответствующих случайных распределений. С их помощью можно более детально анализировать особенности взаимного расположения частиц в ансамбле, оценивать флуктуации локальной концентрации наполнителя, делать выводы о геометрической устойчивости плотной упаковки (например, с точки зрения механики сыпучих сред, наличие в трехмерной структуре значительного количества включений с координационным числом меньше 4 говорит о ее потенциальной нестабильности).
В плотной упаковке N равно числу контактов данной частицы с соседними. В разреженных структурах соседи уже не обязательно должны касаться друг друга и N принимается равным количеству граней у так называемого полиэдра Вороного, описанного вокруг рассматриваемой сферы. Для его построения достаточно провести векторы, соединяющие центр данного элемента с соседними, и через середины отрезков, соответствующих зазорам между частицами, провести перпендикулярные этим векторам плоскости. Таким образом, все пространство, занимаемое структурой, можно покрыть такими непересекающимися элементарными ячейками. Полиэдры Вороного (рис. 3) в случае перехода к регулярной решетке вырождаются в правильные многогранники — ячейки Вигнера — Зейтца.

В регулярных структурах координационное число является детерминированной величиной и однозначно определяется типом решетки. Так, для монофракционных систем в наиболее плотной гексагональной объемной упаковке (φ = 74,05%) N = [N] = 12, а в наименее плотной кубической (φ = 52,36%) N = [N] = 6.
Функции распределения координационного числа для хаотических плотных упаковок из одинаковых гладких сфер изучались многими исследователями. Бернал и Мейсон экспериментировали на модели из 1000 одинаковых стальных сфер, случайным образом засыпанных в контейнер и жестко скрепленных между собой за счет последующей заливки связующего. Смит, Фут и Бюзанг исследовали распределение контактов между свинцовыми дробинами (диаметром 7,56 мм), которые помещались в широкий сосуд с 20%-м раствором уксусной кислоты. После сливания раствора у каждого контакта возникало тонкое кольцо жидкости, оставлявшее после высушивания хорошо заметное белое пятно из осадка ацетата свинца. Количество обследованных в каждой реализации шаров (бравшихся из срединных слоев засыпки) составляло от 1000 до 1500. Число контактов в их опытах варьировалось от 4-5 до 11-12, а среднее значение [N] лежало в диапазоне 8-9, что вполне соответствовало результатам Бернала, получившего [N] = 8,5.
Насыпные хаотические структуры из стеклянных сферических частиц изучал Ода. Им были экспериментально получены распределения [N] для моно- и полидисперсных структур в зависимости от их пористости, а также от соотношения объемных долей фракций и разницы в размерах частиц для систем, содержащих от 2 до 4 фракций.
Методика эксперимента состояла в следующем. Стеклянные шары диаметром 5,2; 12,3; 16,4 и 21,7 мм помещали в различных соотношениях в цилиндрическую емкость с диаметром 150 и высотой 17,5 мм и подвергали на некоторое время внешнему вибрационному воздействию. Далее в контейнер заливали черную японскую тушь, которую через несколько минут осторожно удаляли из сосуда через дренажные отверстия в днище. Часть туши благодаря силам поверхностного натяжения оставалась в местах контактов между частицами и после высыхания оставляла па них пятна. В структуре случайным образом (но достаточно далеко от стенок) выбирали примерно 250 частиц, и для каждой из них подсчитывали ее координационное число (т.е. количество пятен на поверхности шара).
Полученные по этим методикам результаты вряд ли можно считать абсолютно достоверными, поскольку кроме случайных погрешностей имеются и систематические, ведущие, как правило, к завышению значений N. Во-первых, это наличие лишних пятен из-за неровностей нa поверхности частиц. Во-вторых, результаты для крупных и мелких сфер могут различаться, так как силы поверхностного натяжения зависят от кривизны поверхности. Высказано предположение о возможных ошибках, связанных с получением больших значений числа контактов (10-12) в монофракциях за счет близко расположенных, по не соприкасающихся соседних шаров; в этом случае существовал мениск жидкости, который потом разрывался. Несмотря на эти оговорки, данные результаты представляют несомненный интерес для исследователей.

Для проверки того, насколько близки значения координационного числа, полученные по нашему алгоритму, к реальности, провели их сравнение с известными из литературы опытными данными. Нa приведены кривые плотности распределения N для монодисперсных плотных случайных упаковок: 1 — расчетная кривая, полученная на синтезированной па ЭВМ структуре ([N] = 6, 9); 2 и 3 — экспериментальные результаты Оды ([N] = 7,26) и Бернала ([N] = 8,5) соответственно. Принимая во внимание имевшиеся в эксперименте погрешности (о них была речь выше), можно считать, что конфигурация смоделированных численно моподисперсных систем достаточно близка к реальной.
Для бинарных структур на компьютере синтезировали плотные хаотические упаковки того же фракционного состава, что у Оды, и для каждой из них вычисляли распределение N. На рис. 5 в качестве примера представлены результаты для системы со следующими макроструктурными характеристиками: φ = 0,65, ψ = 12,3/5,2 и Xк = 0,8 (сплошная линия соответствует случаю численного моделирования, а штриховая — эксперименту). Видно, что имеется вполне удовлетворительное совпадение модельных расчетов и эксперимента.