Принцип физической дискретизации и его место в структурной механике гетерогенных сред

Существует огромное количество различных гетерогенных материалов и систем, структуру которых можно представить в виде случайной (а в частном случае и регулярной) совокупности из достаточно близко расположенных частиц зернистой формы — это высоконаполненные вязкие суспензии, матричные полимерные композиты, бетоны, пески и некоторые другие виды грунтов и т.д. В настоящее время практически независимо существуют два подхода к исследованию структурных свойств подобных материалов. В первом из них — его можно исходя из истории возникновения назвать геомеханическим — главное внимание уделяется таким особенностям исследуемых объектов, как пространственное расположение структурных элементов, характер взаимодействия между ними в зонах контакта, распределение по объему сил реакции на внешнюю макроскопическую нагрузку и т.п. В данном направлении работали Бажант, Зубелевич и Мроз, Кендалл, Серрано и многие другие. Кендалл и Серрано рассматривали ансамбли твердых трущихся частиц и изучали поведение насыпных систем типа песка. Зубелевич и Мроз обобщили подход Кендалла на случай моделирования разрушения геоматериалов. Бажант исследовал развитие микроповрежденности в хрупких композитных материалах типа бетон с учетом масштабного фактора. Главная отличительная особенность геомеханического подхода состоит в том, что составляющие структуру дискретные частицы способны к взаимодействию между собой лишь при их непосредственном соприкосновении через соответствующие контактные силы.
Второе направление исторически больше связано с работами в области исследования волокнистых и зернистых композитов. В этом случае взаимодействие между частицами осуществляется уже не напрямую, а через матричные прослойки между ними. При расчетах подобные системы считаются непрерывными на микроскопическом и гомогенными на макроскопическом уровне, что позволяет в полной мере использовать известные методы механики микронеоднородных сред.
Оба подхода с разных сторон освещают одну и ту же фундаментальную проблему — исследование свойств структурно-неоднородных систем, и их объединение, несомненно, пошло бы на пользу делу. Попытка такого объединения для случая наполненных композитных материалов с сильно выраженной механической неоднородностью фаз (жесткие частицы наполнителя — мягкая эластомерная матрица) и легла в основу создания представленной ниже структурно-механической модели композита. Ее главная базовая идея заключается в использовании так называемого принципа физической дискретизации, согласно которому сложные реальные полевые взаимодействия между структурными неоднородностями заменяются на эквивалентные (и более простые) реакции в соответствующих дискретно-механических элементах аналоговой системы, аппроксимирующей исследуемый объект. Исходя из знания каких-то характерных для данной рассматриваемой среды физических закономерностей, производится переход от сплошного континуума с бесконечно большим числом степеней свободы к некоторой дискретной модели, оперирующей уже конечным набором параметров. Например, распределенную по объему массу тела можно свести к сосредоточенным массам и моментам инерции в узлах соответствующей стержневой конструкции; сложное движение жидкости может быть представлено течением через сеть элементарных трубок тока и т.д.
Большой вклад в развитие этого подхода внесли работы Аргириса и Абси. Абси предложил использовать стержневые системы для аппроксимации континуумов и применил эту идею для расчета пластин и оболочек, а Аргирис применил физическую дискретизацию при анализе нелинейных явлений в строительных конструкциях. В этой же работе им высказано предположение, что данный метод можно распространить и на более широкий круг задач, а также приведены некоторые схемы его реализации. Возможность использования физической дискретизации для исследования механических свойств структурно-неоднородных систем была показана Mошевым и Хаитом при разработке двухмерной структурной модели, описывавшей поведение однонаправленного волокнистого композита в трансверсальной плоскости (перпендикулярной направлению волокон). Предложенные ими идеи были обобщены на случай зернистых композитов с произвольным расположением частиц наполнителя в трехмерной пространственной структуре и получили дальнейшее развитие при создании СММК.
Так как нас интересуют в конечном счете эффективные свойства композитов со случайным расположением частиц в структуре, то понятно, что для надежного статистического осреднения следует брать достаточно большие представительные объемы материала, содержащие сотни (а возможно, и тысячи) включений. Учет влияния столь сложной системы на макросвойства композита теоретическими методами крайне затруднен и может дать лишь самые грубые оценочные результаты (и то для невысоких наполнений). Прямое использование известных численных методов, предназначенных для решения континуальных задач механики (конечные и граничные элементы, метод сеток и т.д.), также нецелесообразно из-за огромных вычислительных затрат. Физическая же дискретизация позволяет обойти эти трудности. С одной стороны, с ее помощью можно практически в полной мере представить особенности взаимного расположения частиц, а с другой — переход к более простым дискретным системам резко снижает требуемые объемы вычислений. Более того, данный подход позволяет проводить исследования и нелинейных процессов, происходящих в композитах при больших деформациях, а также за-критических явлений типа возникновения; накопления и развития микроповрежденности, приводящей в конечном счете к разрушению материала.