Граничные условия

Для каждого включения на границах матрица — включение требуется выполнение равенств

где 0, 1 — соответственно матрица, включение; r, θ — полярные координаты, связанные с центром m-го включения. Обозначим комплексные потенциалы соответственно для матрицы φ0, ψ0, для m-го включения символами φ1m и ψ1m. Через них граничные условия принимают вид

Возьмем функции в виде рядов Лорана:

где m — номер включения; символ 0 — матрица, 1 — включение.
При описании возмущений в матрице от включений используем только отрицательные коэффициенты в функциях φ0m и ψ0m, так как возмущения должны затухать на удалении от включения. Во включении рассматриваем только положительные коэффициенты в функциях φ1m и ψ1m, поскольку напряжения не могут принимать бесконечные значения.
В формуле (10) выражения φ0 и ψ0 определяются суммой


где N — число включении.
Рассмотрим m-е включение, тогда в выражении (12) необходимо перейти к координатам zm во всех слагаемых. Подставляя (11) и (12) в (10) и приравнивая выражения при одинаковых степенях eiθ, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Akim и Bkim:

vi, μi(i = 0,1) — соответственно коэффициенты Пуассона и модуль сдвига матрицы, включения.
Выпишем систему (13), объединяя уравнения при k = -m и k = n+2 и обозначая А*Nim — ANim r1,mN(r = 0,1). Использование коэффициентов АNi*m, BNi*m вместо АNim, BNim позволит избежать во время вычисления переполнений арифметического устройства при определении напряжений около включений с радиусом, существенно отличающимся от единичного:

Коэффициенты A-n1*m, B(-n-2)*m, равны нулю, так как во включениях напряжения не могут принимать бесконечные значения.
Решение системы уравнений (14) проще всего выполнить, рассматривая каждую четверку как самостоятельную группу с известной правой частью. Этого можно добиться решая задачу итерационно. В основу положена идея последовательного нахождения возмущений от каждого из включений в предположении, что другие возмущения нам известны. Их конкретные значения берутся с ранее выполненного шага.