Вычисление полей напряжений

В качестве примера рассчитаем в рамках упругой плоской задачи поля напряжений вблизи двух жестких волокон круглого поперечного сечения с диаметром D1. Между этими волокнами расположены включения меньшего диаметра D2. Полагаем, что соотношение их размеров задается как D1 = 10D2. Нас интересует, каким образом точность полученного решения связана с числом итераций и числом членов ряда в представлении возмущений. Разложение в ряд (??) мы ограничиваем до конечного числа членов:

Все значения для числа Ni берутся равными М1 для включений с большим диаметром и М2 — с малым. Коэффициент Пуассона для включений и матрицы полагается равным 0,5 (несжимаемые материалы), а модуль Юнга для включений Ep и матрицы Em — существенно отличным (Ер = 100000Em). Полагаем, что на удалении к матрице приложено единичное растягивающее напряжение вдоль оси у (σуу∞ = 1, σхх∞ 0, тху∞ = 0). Рассмотрим область, которая представляет для нас интерес с точки зрения распределения полей напряжений. Нa рис. 5 она отмечена квадратом. В этой области напряжения принимают наибольшие значения и градиенты их изменений в связующем также велики. Распределения полей интенсивности напряжений и полей средних напряжений показаны на рис. 6.
Использование конечных сумм вместо бесконечных рядов приводит к неточной оценке граничных условий. Максимальные погрешности наблюдаются на границе волокон с большими диаметрами. Сходимость итерационного процесса происходит при достаточно высокой скорости, и начиная с 20-й итерации результаты расчетов почти одинаковы. Максимальная погрешность в удовлетворении граничных условий по напряжениям составляет менее 0,01 от нагрузки, заданной на бесконечности σуу∞. Таким образом, искомые критерии качества для получаемого решения удовлетворяются достаточно хорошо. Расчеты проводились на IBM PC 486DX-40. Время вычислении 5 мин.