Эффективные и структурные характеристики ансамблей с регулярным расположением включений

Рассмотрим две основные геометрические структуры: треугольную и квадратную. Очевидно, что регулярность внутренней структуры должна в принципе сопровождаться анизотропностью эффективного поведения.
Изложенный выше метод определения эффективного модуля по реакции внешнего поля предполагает, что круговой ансамбль частиц ведет себя изотропно. Эффективный модуль такого ансамбля частиц не должен зависеть от направления внешней силы, действующей в матрице. Напротив, если исследуемый образец проявляет анизотропию, то его эффективный модуль, вычисленный по изложенной выше схеме, должен изменяться при изменении направления внешней силы. Исследуя зависимость эффективного модуля от угла поворота внешней силы, можно получить представление о наличии анизотропии внутри ансамбля. В тех случаях, когда анизотропия имеет место, оценку эффективного модуля целесообразно осуществлять через осреднение по углу поворота. Такой эффективный модуль будет отображать поведение системы, набранной из множества мелких анизотропных образований.

Исследуем эту особенность на примере квадратной структуры. На рис. 16 представлены три квадрата, из которых набирается три ансамбля по 16 включений в каждом. Промежутки между включениями равны соответственно 1,0; 0,5 и 0,4. Нa удалении матрица нагружена по горизонтали единичным растягивающим напряжением. Период поворотной симметрии в этой конфигурации составляет 45 град. Изменение эффективного модуля, представленного как отношение текущего его значения Eθ к осредненной по периоду поворота величине Eср, в зависимости от угла поворота показано на том же рисунке под рассматриваемыми конфигурациями. Видно, что анизотропия ансамбля начинает заметно проявляться (отклонение максимальных значений от средней величины становится более 10%), когда промежуток между включениями становится менее половины радиуса. При зазорах больше радиуса включений она становится мало ощутимой.

В треугольных структурах в форме шестигранников анизотропия выражена слабее и становится заметной лишь при более высоких наполнениях. В связи с изложенным эффективные модули в регулярных структурах вычислялись как усредненные по периоду поворота величины Eср.
Объемное заполнение ансамбля с эффективным радиусом Rэф, содержащего N включений радиусом к, вычисляемое как отношение суммарной площади включений Nпr2 к площади круга с радиусом Rэф, будем называть эффективным объемным наполнением системы φэф. Oiio совпадает с решеточным наполнением в крупных ансамблях.

При рассмотрении зависимости эффективного модуля от концентрации включений для квадратной и треугольной структур, содержащих соответственно 16 и 19 включений (рис. 17), видно, что начиная с 30%-го наполнения кривые расходятся, потому что предельные наполнения этих структур различны.

Так как данные системы регулярные, достаточное представление о распределении в матрице структурных напряжений и деформаций может быть получено из рассмотрения картины внутри отдельных структурных ячеек.

На рис. 18 приведена типовая картина распределения σomax и ε1max в ячейке квадратной структуры при зазоре между включениями, равном половине их радиуса, на рис. 19 — то же самое для ячейки треугольной структуры.
Сравнивая эти распределения с распределениями для парных включений, видим качественное совпадение. Однако в ансамблевых структурах уровень напряжений и деформаций выше в связи с большей стесненностью деформаций.
Распределение средних напряжений и максимальных деформаций в матрице весьма неоднородно. В квадратной структуре σomax и ε1max внутри ансамбля в 4,46 и 1,44 раза выше соответствующих величии в окружающей матрице. Для треугольной структуры аналогичные величины равны 6,30 и 2,76. При этом и в том и другом случаях значительные области матрицы оказываются нагруженными слабо.
Очевидно, что отношения σomax и ε1max к соответствующим величинам для матрицы могут рассматриваться как коэффициенты концентрации kσo и kε1. Эти коэффициенты зависят от степени заполнения матрицы включениями и возрастают с уменьшением промежутков между включениями.
Зависимость kσo и kε1 от зазора для квадратной и треугольной структур при нагружении матрицы вдоль оси X показана на рис. 20. Эти данные могут быть использованы при исследовании повреждаемости ансамблевых образований во время их деформирования.

Из рис. 19 и 20 следует, что внутреннее сопротивление ансамблей формируется ”каркасом”, состоящим из пар включений с центровыми линиями, параллельными направлению растяжения. Наибольшие напряжения и деформации возникают в матрице на границе ее контакта с включениями. Поэтому дальнейший анализ целесообразно сосредоточить на исследовании особенностей контурных коэффициентов концентрации kσo и kε1, являющихся источниками микроскопической повреждаемости рассматриваемых структур.
Когда матрицу сжимают, например, вдоль оси Y, то в промежутках между включениями, ориентированными вдоль оси X, возникают растягивающие средние напряжения, действие которых может вызвать внутренние разрывы, хотя макроскопически ансамбли находятся в сжатом состоянии. Нa примере треугольной структуры (рис. 21) видно, как коэффициент kσomax максимального гидростатического растяжения возрастает с уменьшением промежутка между включениями.

Высокие коэффициенты концентрации способны вызывать появление трещин, параллельных действию сжимающей нагрузки, при умеренных внешних сжатиях. Такая продольная трещиноватость иногда наблюдается при сжатии образцов из бетона. В однородных материалах при одноосном сжатии рассматриваемая ситуация невозможна. Для ее возникновения необходимо, чтобы жесткость матрицы была значительно меньше жесткости включений.

Роль слоев подробно рассмотрена при изучении парных взаимодействий. Там же перечислены требования к оптимизированным структурам. Так как парные взаимодействия весьма представительны сами по себе, можно предположить, что рекомендации, полученные при анализе парных включений, в основном сохраняются и для ансамблей включений. Исследована треугольная система из семи включений, окруженных слоями, с промежутком между ними 0,5. Слои были оптимизированными, согласно формуле (1), полученной для двух включений (η = 0,678, Н = 0,02 и Ec = 33,9). Параллельно решалась задача без слоев в той же схеме при условии скрепления жестких включений с матрицей. Сравнение показало, что неравномерность структурных напряжений и деформаций при наличии слоев существенно уменьшается: по σomax от 2,2 до 1,36 и по ε1max от 3,3 до 2,05.
Образование раскрепленных более жестких, чем матрица, слоев в ансамблях является, таким образом, весьма эффективным способом снижения максимальных структурных напряжений и деформаций.

Практика часто требует высокого наполнения матрицы включениями при сохранении системой достаточной деформативности. Однако высокая структурная напряженность матрицы, неизбежно сопутствующая увеличению количества наполнителя, исключает такую возможность. Отмеченная трудность может быть тем не менее преодолена, если наполнение производить набором фракций, в которых частицы значительно различаются размерами. Известны способы компоновки высоких наполнений в случаях, когда размеры частиц в соседних фракциях различаются не менее чем в 10 раз.

В практике, однако, приходится иметь дело со структурами, в которых различие в размерах включений не очень велико (в 2-5 раз). Феноменологический подход к расчетам таких систем известен. Ho влияние фракционного состава наполнителя на структурные напряжения при многофракционном наполнении, судя по литературе, не исследовалось, и попытки оптимизировать системы с прочностных позиций на базе чисто структурных представлений применительно к композитам не предпринимались. Исследуем в качестве примера на треугольном ансамбле с 70%-м наполнением, как использование неодинаковых по размерам включений может снизить структурную напряженность матрицы и повлиять на эффективный модуль системы.
Матрица на удалении нагружена горизонтальным растягивающим напряжением, равным единице. Пусть исходный эталонный вариант представляет семь включений одинакового размера (рис. 22,а). Расчеты показывают, что для этого случая σomax = 4,6, ε1max = 2,2 и Еэф = 18,5. Введем в промежутки, образованные крупными включениями, мелкие включения, увеличивая за их счет промежутки между крупными и сохраняя неизменным объемное заполнение системы (рис. 22,б). Варьируя соотношения радиусов крупных и мелких включений, определяем соответствующие σomax, ε1max и Еэф.
Из рис. 23, где показана зависимость максимальных σomax на контурах крупного и мелкого включений от соотношения r/R, видно, что σomax крупных включений падает с вводом мелких частиц и достигает минимума при r/R = 0,38. Величина ε1max на крупных включениях изменяется незначительно.
Зависимость Eэф от r/R показана на рис. 24. С вводом мелких частиц модуль уменьшается и становится минимальным примерно при том же соотношении r/R = 0,34. Корреляция между зависимостями σоmax ~ r/R и Еэф ~ r/R указывает на то, что величина эффективного модуля формируется в основном гидростатической составляющей напряженного состояния.
Дополнительный анализ показывает, что этому условию соответствуют примерно одинаковые относительные зазоры Δ1 = Δ2 между крупными включениями, а также крупными и мелкими, когда под относительными зазорами подразумевается отношение для крупных включений δ1/R1 = Δ1, для мелких δ2/r = Δ2. Пo-видимому, эта общая закономерность характерна для любых фракционных наполнителей.