Структурные характеристики ансамблей со случайным расположением включений

Реальные высоконаполненные структуры — это случайно построенные системы, и поэтому следующим шагом в исследовании напряженно-деформированного состояния матрицы является переход к ансамблям со случайным расположением включений.
В композите, содержащем практически бесконечное число включений, возможны самые разнообразные сочетания в их расположении. Учесть это многообразие и полном объеме нашими средствами, разумеется, невозможно, да в этом и нет необходимости. Достаточно выделить лишь наиболее типичные, часто встречающиеся случайные комбинации и в дальнейшем ограничиться только их исследованием. Эта задача была рассмотрена и решена ранее. Ее сущность заключалась в синтезе различных ансамблевых структур и выборе для механического анализа тех из них, которые наиболее вероятны (обладают максимальным значением геометрической энтропии).
Распределение структурных σо и εmax в нерегулярно построенных системах целесообразно представлять как распределения σо и εmax по контурам включений. Это интересно при исследовании повреждаемости композитных систем, поскольку максимальные напряжения и деформации создаются вдоль линии сопряжения жестких включений с мягкой матрицей.

Было исследовано несколько типов размещения частиц: регулярное, сетчатое, регулярное агрегативное и случайное (рис. 25-27).

Выполнено значительное количество численных экспериментов. На рис. 28 показана зависимость модуля от степени наполнения, полученная для скоплений частиц различного вида. Неожиданным оказалось то, что эта зависимость практически инвариантна относительно расположения частиц в ансамблях, за исключением тех случаев, когда рассматриваются упорядоченные решетки при высоких наполнениях (см. рис. 18), приближающихся к предельным.
Такая инвариантность позволила вывести простую эмпирическую зависимость эффективного модуля Еэф от объемного содержания наполнителя φ для случайных плоских структур:

Интересно отметить, что коэффициент 0,83 является величиной, близкой к среднему значению 0,846 из квадратного (0,785) и треугольного (0,907) предельных наполнений. Это косвенное свидетельство того, что плотные случайные упаковки набираются примерно одинаковым количеством случайно расположенных треугольных и квадратных элементов.
Для низких объемных концентраций наполнителя это соотношение принимает вид

Аналогичный коэффициент для трехмерных систем, полученный Эйнштейном, равен 2,5. Разница обусловлена, по-видимому, плоским характером исследованной структуры.
Поскольку величина среднего промежутка между включениями определяется только концентрацией включений, а не их взаимным расположением, инвариантность связи Eэф — φ означает, что эффективные свойства плоских композитов зависят в основном от среднего промежутка между частицами.
Если частицы наполнителя не считать абсолютно жесткими и отношение модуля частиц к модулю матрицы обозначить через η, то зависимость эффективного модуля от объемного содержания наполнителя может быть представлена эмпирическим выражением

Эта формула удобна при выполнении примерных инженерных расчетов.
Нa рис. 29 показано, как изменяется распределение σоmax и ε1max по включениям по мере все большей хаотичности первоначально регулярной треугольной системы при постоянном 50%-м ее наполнении. Усиление хаотичности в расположении частиц приводит к значительному разбросу максимальных средних напряжений и максимальных деформаций на контуре включений. Сильно вытянутая правая часть кривых с невысокой плотностью вероятностей ответственна за возникновение первых повреждений в системе.


Из сказанного ранее о слоях вокруг включений очевидно, что в тех случаях, когда эти слои более жесткие, чем матрица, и прочно скреплены с включениями, они как бы увеличивают размер последних при прочих равных условиях, приводят к уменьшению средних промежутков между включениями и усилению структурной напряженности в системе. Этот вывод в полной мере относится и к ансамблям, случайно заполненным включениями. Если жесткие слои не скреплены с включениями и поэтому более податливы, то в случайных структурах это должно приводить к ослаблению структурной напряженности.